Simge
New member
PERT Formülü Nedir? Belirsiz Süreleri Bilimsel Olarak Hesaplama
Bir projenin ne zaman biteceğini tahmin etmeye çalışırken çoğu zaman tek bir süre söylemek kolaydır: “Bu iş yaklaşık 10 gün sürer.” Fakat bilimsel açıdan bakınca asıl soru şudur: 10 gün derken ne kadar eminiz? İşler planlandığı gibi gitmezse ne olur, beklenenden hızlı ilerlerse proje takvimi nasıl değişir?
PERT (Program Evaluation and Review Technique), tam da bu belirsizlik problemini ele almak için geliştirilmiş bir yöntemdir. Konuya ilk kez matematiksel açıdan yaklaşan birinin dikkatini çeken nokta, PERT'ın tek bir tahmin yerine üç farklı zaman tahminini kullanmasıdır. Bu nedenle yöntemi yalnızca bir “proje yönetimi formülü” olarak değil, belirsizlik altında karar verme modeli olarak değerlendirmek daha doğru olur.
PERT'ın temelleri 1959 yılında Malcolm, Roseboom, Clark ve Fazar tarafından Operations Research dergisinde yayımlanan çalışmaya dayanır. Araştırmacılar yöntemi ABD Donanması'nın Polaris füze programındaki araştırma ve geliştirme faaliyetlerini değerlendirmek ve kontrol etmek amacıyla geliştirmiştir. Çalışmada faaliyet süreleri olasılıksal biçimde ele alınmış ve birbirine bağlı faaliyetlerden oluşan bir ağ modeli kurulmuştur. JSTOR+1
Peki bugün kullanılan PERT formülü nedir ve gerçekte ne anlatır? Bunu adım adım incelemek oldukça öğretici.
PERT Formülü: Temel Denklem
Klasik PERT yönteminde her faaliyet için üç farklı zaman tahmini yapılır:
- a = İyimser süre (optimistic time): Faaliyetin makul koşullar altında tamamlanabileceği en kısa süre.
- m = En olası süre (most likely time): Normal koşullarda gerçekleşmesi en muhtemel süre.
- b = Kötümser süre (pessimistic time): Olağanüstü bir felaket varsaymadan, makul ölçülerde işlerin ters gitmesi durumunda ortaya çıkabilecek en uzun süre.
Beklenen faaliyet süresi şu formülle hesaplanır:
Te = (a + 4m + b) / 6
Buradaki kritik nokta, üç tahminin eşit ağırlıkta olmamasıdır. En olası süre olan m, dört kat ağırlıkla hesaba katılır. İyimser ve kötümser sürelerin her biri ise birer kat ağırlığa sahiptir.
Örneğin bir yazılım modülünün:
- İyimser süresi: 6 gün
- En olası süresi: 10 gün
- Kötümser süresi: 18 gün
olsun.
Bu durumda:
Te = (6 + 4×10 + 18) / 6
Te = 64 / 6 = 10,67 gün
Dolayısıyla PERT'a göre faaliyetin beklenen süresi yaklaşık 10,67 gündür.
Bu formülün arkasındaki yaklaşım, üç tahmin arasında basit bir ortalama almaktan daha karmaşıktır. Akademik literatürde klasik PERT modelinin faaliyet süresini beta dağılımıyla yaklaşık olarak temsil ettiği ve beklenen değerin bu üç tahmin üzerinden hesaplandığı belirtilmektedir. ScienceDirect+1
Neden En Olası Süre Dört Kat Ağırlıklı?
Burada formülün mantığı önem kazanıyor. Eğer 6, 10 ve 18 gün için basit aritmetik ortalama kullansaydık:
(6 + 10 + 18) / 3 = 11,33 gün
PERT ise 10,67 gün sonucunu verir.
Çünkü yöntem, 6 günlük iyimser senaryonun ve 18 günlük kötümser senaryonun gerçekleşme olasılığının, normal koşullardaki 10 günlük senaryoya göre daha düşük olduğunu varsayar.
Başka bir ifadeyle PERT şunu söylemez:
“Üç ihtimalin ortalaması budur.”
Bunun yerine kabaca şunu söyler:
“Normal koşullardaki tahmin daha güvenilir bir merkezdir; ancak belirsizliği hesaba katmak için uç senaryoları da modele dahil edelim.”
Bu yaklaşım özellikle daha önce benzer projeler yürütülmüşse anlamlı olabilir. Fakat burada önemli bir metodolojik sorun ortaya çıkar: a, m ve b değerleri ne kadar objektif?
1959'daki özgün PERT çalışmasında süre tahminlerinin ilgili teknik kişilerden alındığı ve daha sonra olasılık biçiminde ifade edildiği belirtilmektedir. JSTOR Bu nedenle PERT'ın matematiksel tarafı ne kadar kesin görünürse görünsün, başlangıç verilerinin kalitesi sonuç üzerinde belirleyicidir.
PERT'ta Standart Sapma ve Varyans Formülü
PERT yalnızca beklenen süreyi hesaplamaz. Belirsizliğin büyüklüğünü değerlendirmek için standart sapma da kullanılabilir.
Klasik PERT yaklaşımında faaliyet süresinin standart sapması:
σ = (b - a) / 6
şeklindedir.
Varyans ise standart sapmanın karesi olduğundan:
σ² = [(b - a) / 6]²
olur.
Örneğimizde:
a = 6
b = 18
olduğundan:
σ = (18 - 6) / 6 = 2 gün
ve:
σ² = 4 gün²
elde edilir.
Burada ilginç olan şey, standart sapmanın doğrudan iyimser ve kötümser tahmin arasındaki açıklığa bağlı olmasıdır. En olası süre değişmese bile uç tahminler birbirinden uzaklaşıyorsa belirsizlik artar.
Bu nedenle PERT açısından “10 gün sürer” demek ile “10 gün civarında sürer ancak tahmin aralığı çok geniş” demek aynı şey değildir.
1965'te William Donaldson'ın Operations Research dergisinde yayımlanan çalışması da PERT faaliyet sürelerinin varyansının tahmin edilmesine ilişkin alternatif bir yaklaşım önermiş ve klasik varsayımların bazı sınırlılıklarını tartışmıştır. PubsOnline
PERT Proje Süresini Nasıl Hesaplar?
Tek bir faaliyet için formülü hesaplamak kolaydır. Asıl mesele, onlarca faaliyetten oluşan bir projenin toplam süresini belirlemektir.
Burada PERT, CPM (Critical Path Method) ile birlikte düşünülür. Faaliyetler birbirlerine bağımlı şekilde bir ağ üzerinde gösterilir. Projenin tamamlanması açısından belirleyici olan yol, kritik yol olarak adlandırılır.
Örneğin şöyle bir yapı düşünelim:
A → B → D
ve
A → C → D
olsun.
A faaliyetinin beklenen süresi 4 gün, B'nin 5 gün, C'nin 8 gün ve D'nin 3 gün olduğunu varsayalım.
Birinci yol:
A + B + D = 4 + 5 + 3 = 12 gün
İkinci yol:
A + C + D = 4 + 8 + 3 = 15 gün
Bu durumda beklenen süreler kullanıldığında daha uzun olan ikinci yol kritik yol olarak değerlendirilir.
Fakat burada önemli bir ayrıntı vardır: Sadece en uzun süreyi bulmak, gerçek belirsizlik dağılımını tamamen açıklamaz.
Güncel akademik çalışmalar PERT'ın klasik biçiminin faaliyet sürelerini bağımsız kabul etmesinin ve proje süresini belirli dağılımlarla temsil etmesinin bazı durumlarda gerçekçi olmayabileceğini göstermektedir. Van Dorp'un 2020 tarihli European Journal of Operational Research çalışması, faaliyetler arasındaki istatistiksel bağımlılıkların Bayesian network yaklaşımıyla modellenebileceğini ve proje ilerledikçe belirsizliğin daha tutarlı biçimde güncellenebileceğini ortaya koymaktadır. ScienceDirect
PERT Formülünün Bilimsel Sınırları
PERT formülü basit görünmesine rağmen arkasında güçlü varsayımlar vardır. Bunların başında faaliyet sürelerinin beta dağılımıyla temsil edilmesi gelir.
Ancak gerçek hayattaki proje süreleri her zaman bu varsayıma uymaz. Özellikle yazılım geliştirme, Ar-Ge, inovasyon ve karmaşık mühendislik projelerinde belirsizlik simetrik olmayabilir.
1993 yılında Keefer ve Verdini'nin Management Science dergisinde yayımlanan araştırması, klasik PERT formüllerinin beta dağılımlarının ortalama ve varyansını tahmin etmedeki doğruluğunu sorgulamış ve alternatif üç noktalı tahmin yöntemleri önermiştir. Araştırmacılar, uygun veriler elde edildiğinde alternatif yaklaşımların klasik PERT formüllerinden çok daha doğru sonuçlar verebildiğini bildirmiştir. PubsOnline
Bir projenin ne zaman biteceğini tahmin etmeye çalışırken çoğu zaman tek bir süre söylemek kolaydır: “Bu iş yaklaşık 10 gün sürer.” Fakat bilimsel açıdan bakınca asıl soru şudur: 10 gün derken ne kadar eminiz? İşler planlandığı gibi gitmezse ne olur, beklenenden hızlı ilerlerse proje takvimi nasıl değişir?
PERT (Program Evaluation and Review Technique), tam da bu belirsizlik problemini ele almak için geliştirilmiş bir yöntemdir. Konuya ilk kez matematiksel açıdan yaklaşan birinin dikkatini çeken nokta, PERT'ın tek bir tahmin yerine üç farklı zaman tahminini kullanmasıdır. Bu nedenle yöntemi yalnızca bir “proje yönetimi formülü” olarak değil, belirsizlik altında karar verme modeli olarak değerlendirmek daha doğru olur.
PERT'ın temelleri 1959 yılında Malcolm, Roseboom, Clark ve Fazar tarafından Operations Research dergisinde yayımlanan çalışmaya dayanır. Araştırmacılar yöntemi ABD Donanması'nın Polaris füze programındaki araştırma ve geliştirme faaliyetlerini değerlendirmek ve kontrol etmek amacıyla geliştirmiştir. Çalışmada faaliyet süreleri olasılıksal biçimde ele alınmış ve birbirine bağlı faaliyetlerden oluşan bir ağ modeli kurulmuştur. JSTOR+1
Peki bugün kullanılan PERT formülü nedir ve gerçekte ne anlatır? Bunu adım adım incelemek oldukça öğretici.
PERT Formülü: Temel Denklem
Klasik PERT yönteminde her faaliyet için üç farklı zaman tahmini yapılır:
- a = İyimser süre (optimistic time): Faaliyetin makul koşullar altında tamamlanabileceği en kısa süre.
- m = En olası süre (most likely time): Normal koşullarda gerçekleşmesi en muhtemel süre.
- b = Kötümser süre (pessimistic time): Olağanüstü bir felaket varsaymadan, makul ölçülerde işlerin ters gitmesi durumunda ortaya çıkabilecek en uzun süre.
Beklenen faaliyet süresi şu formülle hesaplanır:
Te = (a + 4m + b) / 6
Buradaki kritik nokta, üç tahminin eşit ağırlıkta olmamasıdır. En olası süre olan m, dört kat ağırlıkla hesaba katılır. İyimser ve kötümser sürelerin her biri ise birer kat ağırlığa sahiptir.
Örneğin bir yazılım modülünün:
- İyimser süresi: 6 gün
- En olası süresi: 10 gün
- Kötümser süresi: 18 gün
olsun.
Bu durumda:
Te = (6 + 4×10 + 18) / 6
Te = 64 / 6 = 10,67 gün
Dolayısıyla PERT'a göre faaliyetin beklenen süresi yaklaşık 10,67 gündür.
Bu formülün arkasındaki yaklaşım, üç tahmin arasında basit bir ortalama almaktan daha karmaşıktır. Akademik literatürde klasik PERT modelinin faaliyet süresini beta dağılımıyla yaklaşık olarak temsil ettiği ve beklenen değerin bu üç tahmin üzerinden hesaplandığı belirtilmektedir. ScienceDirect+1
Neden En Olası Süre Dört Kat Ağırlıklı?
Burada formülün mantığı önem kazanıyor. Eğer 6, 10 ve 18 gün için basit aritmetik ortalama kullansaydık:
(6 + 10 + 18) / 3 = 11,33 gün
PERT ise 10,67 gün sonucunu verir.
Çünkü yöntem, 6 günlük iyimser senaryonun ve 18 günlük kötümser senaryonun gerçekleşme olasılığının, normal koşullardaki 10 günlük senaryoya göre daha düşük olduğunu varsayar.
Başka bir ifadeyle PERT şunu söylemez:
“Üç ihtimalin ortalaması budur.”
Bunun yerine kabaca şunu söyler:
“Normal koşullardaki tahmin daha güvenilir bir merkezdir; ancak belirsizliği hesaba katmak için uç senaryoları da modele dahil edelim.”
Bu yaklaşım özellikle daha önce benzer projeler yürütülmüşse anlamlı olabilir. Fakat burada önemli bir metodolojik sorun ortaya çıkar: a, m ve b değerleri ne kadar objektif?
1959'daki özgün PERT çalışmasında süre tahminlerinin ilgili teknik kişilerden alındığı ve daha sonra olasılık biçiminde ifade edildiği belirtilmektedir. JSTOR Bu nedenle PERT'ın matematiksel tarafı ne kadar kesin görünürse görünsün, başlangıç verilerinin kalitesi sonuç üzerinde belirleyicidir.
PERT'ta Standart Sapma ve Varyans Formülü
PERT yalnızca beklenen süreyi hesaplamaz. Belirsizliğin büyüklüğünü değerlendirmek için standart sapma da kullanılabilir.
Klasik PERT yaklaşımında faaliyet süresinin standart sapması:
σ = (b - a) / 6
şeklindedir.
Varyans ise standart sapmanın karesi olduğundan:
σ² = [(b - a) / 6]²
olur.
Örneğimizde:
a = 6
b = 18
olduğundan:
σ = (18 - 6) / 6 = 2 gün
ve:
σ² = 4 gün²
elde edilir.
Burada ilginç olan şey, standart sapmanın doğrudan iyimser ve kötümser tahmin arasındaki açıklığa bağlı olmasıdır. En olası süre değişmese bile uç tahminler birbirinden uzaklaşıyorsa belirsizlik artar.
Bu nedenle PERT açısından “10 gün sürer” demek ile “10 gün civarında sürer ancak tahmin aralığı çok geniş” demek aynı şey değildir.
1965'te William Donaldson'ın Operations Research dergisinde yayımlanan çalışması da PERT faaliyet sürelerinin varyansının tahmin edilmesine ilişkin alternatif bir yaklaşım önermiş ve klasik varsayımların bazı sınırlılıklarını tartışmıştır. PubsOnline
PERT Proje Süresini Nasıl Hesaplar?
Tek bir faaliyet için formülü hesaplamak kolaydır. Asıl mesele, onlarca faaliyetten oluşan bir projenin toplam süresini belirlemektir.
Burada PERT, CPM (Critical Path Method) ile birlikte düşünülür. Faaliyetler birbirlerine bağımlı şekilde bir ağ üzerinde gösterilir. Projenin tamamlanması açısından belirleyici olan yol, kritik yol olarak adlandırılır.
Örneğin şöyle bir yapı düşünelim:
A → B → D
ve
A → C → D
olsun.
A faaliyetinin beklenen süresi 4 gün, B'nin 5 gün, C'nin 8 gün ve D'nin 3 gün olduğunu varsayalım.
Birinci yol:
A + B + D = 4 + 5 + 3 = 12 gün
İkinci yol:
A + C + D = 4 + 8 + 3 = 15 gün
Bu durumda beklenen süreler kullanıldığında daha uzun olan ikinci yol kritik yol olarak değerlendirilir.
Fakat burada önemli bir ayrıntı vardır: Sadece en uzun süreyi bulmak, gerçek belirsizlik dağılımını tamamen açıklamaz.
Güncel akademik çalışmalar PERT'ın klasik biçiminin faaliyet sürelerini bağımsız kabul etmesinin ve proje süresini belirli dağılımlarla temsil etmesinin bazı durumlarda gerçekçi olmayabileceğini göstermektedir. Van Dorp'un 2020 tarihli European Journal of Operational Research çalışması, faaliyetler arasındaki istatistiksel bağımlılıkların Bayesian network yaklaşımıyla modellenebileceğini ve proje ilerledikçe belirsizliğin daha tutarlı biçimde güncellenebileceğini ortaya koymaktadır. ScienceDirect
PERT Formülünün Bilimsel Sınırları
PERT formülü basit görünmesine rağmen arkasında güçlü varsayımlar vardır. Bunların başında faaliyet sürelerinin beta dağılımıyla temsil edilmesi gelir.
Ancak gerçek hayattaki proje süreleri her zaman bu varsayıma uymaz. Özellikle yazılım geliştirme, Ar-Ge, inovasyon ve karmaşık mühendislik projelerinde belirsizlik simetrik olmayabilir.
1993 yılında Keefer ve Verdini'nin Management Science dergisinde yayımlanan araştırması, klasik PERT formüllerinin beta dağılımlarının ortalama ve varyansını tahmin etmedeki doğruluğunu sorgulamış ve alternatif üç noktalı tahmin yöntemleri önermiştir. Araştırmacılar, uygun veriler elde edildiğinde alternatif yaklaşımların klasik PERT formüllerinden çok daha doğru sonuçlar verebildiğini bildirmiştir. PubsOnline